Задание №235

Очевидно, что x > 0. Заметим, что \log_{2}x < 2^{x} при x > 0, график функции y=\log_{2}x лежит ниже прямой y=x, а график функции y=2^{x} лежит выше этой прямой, поэтому знаменатель дроби принимает только отрицательные значения. Докажем, что это верно.

Докажем, что 2^{x} > x. Рассмотрим f(x)=2^{x}-x.

f'(x)=2^{x} \ln2-1.

f'(x)=0 при 2^{x} \ln2-1=0, 

2^{x}=\frac{1}{\ln2},

x_{1}=\log_{2} \frac{1}{\ln2} — точка минимума, f(x_{1}) — наименьшее значение f(x).

Докажем, что f(x_{1}) > 0.

\frac{1}{\ln2}-\log_{2}\frac{1}{\ln2} > 0;

\log_{2}e-\log_{2}\log_{2}e > 0;

\log_{2}e > \log_{2}\log_{2}e;

e > \log_{2}e;

2^{e} > e.

Это верно, так как 2^{e} > 2^{2} > e.

Мы доказали, что 2^{x} > x. Но тогда \log_{2}2^{x} > \log_{2}x и x > \log_{2}x.

2^{x} > x > \log_{2}x, значит, 2^{x}-\log_{2}x > 0.

Умножив обе части неравенства на \log_{2}x-2^{x}, получим неравенство 4^{x}+\log_{2}x-12 \leq \log_{2}x-2^{x}, которое легко сводится к неравенству 4^{x}+2^{x}-12 \leq 0. Решив его методом подстановки, найдем все его решения x \leq \log_{2}3. Учитывая, что x > 0, получим все решения данного неравенства: x \in (0; \log_{2}3]

(0; \log_{2}3]