Задание №214

Заметим сначала, что

x^{2}-10x+25=(5-x)^{2} и -x^{2}+7x-10=(5-x)(x-2).

ОДЗ неравенства являются все решения системы:

\begin{cases}x-2>0,\\x-2\neq 1,\\x^{2}-10x+25>0,\\5-x>0,\\5-x\neq1,\\-x^{2}+7x-10>0; \end{cases}\enspace \begin{cases}2<x<5,\\x\neq3, x\neq4. \end{cases}

Преобразуем исходное неравенство, учитывая ОДЗ.

\log_{x-2}(5-x)+1+\log_{5-x}(x-2)>3,

\log_{x-2}(5-x)+\log_{5-x}(x-2)-2>0.

Сделаем замену \log_{x-2}(5-x)=t. Тогда неравенство принимает вид:

t+\frac{1}{t}-2>0;

\frac{t^{2}-2t+1}{t}>0;

\frac{(t-1)^{2}}{t}>0.

Множеством его решений является множество (0;1)\cup (1;+\infty).

Сделаем обратную замену, получим:

\left [\!\!\begin{array}{l} 0<\log_{x-2}(5-x)<1, \\ \log_{x-2}(5-x)>1; \end{array}\right .

\left [\!\!\begin{array}{l}\log_{x-2}(5-x)>\log_{x-2}(x-2),\\ \log_{x-2}1<\log_{x-2}(5-x)<\log_{x-2}(x-2);\end{array} \right .

\left[\!\!\begin{array}{l}(x-2-1)(5-x-(x-2))>0,\\\!\!\left\{\!\!\!\!\begin{array}{l}\:(x-2-1)(5-x-(x-2))<0,\\\:(x-2-1)(1-(5-x))<0;\end{array}\right . \end{array} \right .

\left [\!\! \begin{array}{l} (x-3)(7-2x)>0, \\ \!\! \left \{\!\!\!\! \begin{array}{l} \:(x-3)(7-2x)<0, \\\: (x-3)(x-4)<0; \end{array} \right . \end{array} \right .

\left[\!\!\begin{array}{l}3<x<3,5,\\\!\!\left\{\!\!\!\!\begin{array}{l}\left[\!\!\begin{array}{l}x<3,\\x>3,5,\end{array}\right.\\\: 3<x<4;\end{array}\right.\end{array}\right.

\left[\!\!\begin{array}{l} 3<x<3,5, \\ 3,5<x<4;\end{array}\right .

Учитывая ОДЗ, получим, что решением неравенства является множество (3;\:3,5)\cup (3,5;\:4).

(3;\:3,5)\cup (3,5;\:4).