Задание №187
Условие
Решите неравенство \log_{5-x} (x+5)\cdot\log_{x+4}(4-x) \leq 0.
Решение
ОДЗ:
\begin{cases}5-x>0,\\ 5-x\neq1,\\x+5>0,\\4-x>0,\\x+4>0,\\x+4\neq1; \end{cases}\enspace \begin{cases}x<5,\\ x\neq4,\\x>-5,\\x<4,\\x>-4,\\x\neq-3; \end{cases}\enspace (-4;-3)\cup (-3;4)
На ОДЗ знак \log_{a}b совпадает со знаком (a-1)(b-1), поэтому исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству (5-x-1) (x+5-1) (x+4-1) (4-x-1)\leq0 .
(4-x)(x+4)(x+3)(3-x)\leq0
\Rightarrow x \in [-4;-3] \cup [3;4].
.png){kind=small}
С учетом ОДЗ получаем x \in (-4;-3) \cup [3;4).
Ответ
(-4;-3) \cup [3;4).
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.