Задание №989

ОДЗ:

\begin{cases}12+4x-x^{2} > 0, \\ x+2 \neq 0, \\ |x+2| \neq 1;\end{cases}

\begin{cases} x^{2} - 4x -12 < 0, \\ x \neq -2, \\x \neq -1, \\ x \neq -3;\end{cases}

\begin{cases}(x+2)(x-6) < 0, \\ x \neq -2, \\x \neq -1, \\ x \neq -3;\end{cases}

x \in (-2;-1) \cup (-1;6).

\log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) \leq \log_{|x+2|}(x+2)^{2}.

\log_{|x+2|}(12+4x-x^{2}) - \log_{|x+2|}(x+2)^{2} \leq 0.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак \log_{a}f-\log_{a}g совпадает со знаком (a-1)(f-g).

2) знак |f|-|g| совпадает со знаком f^{2}-g^{2}=(f-g)(f+g).

Согласно 1: (|x+2|-1)\cdot (12+4x-x^{2}-x^{2}-4x-4) \leq 0,

(|x+2|-1)(-2x^{2}+8) \leq 0.

Разделим обе части неравенства на -2.

(|x+2|-1)(x^{2}-4) \geq 0.

Согласно 2: (x+2-1)(x+2+1)(x^{2}-4) \geq 0,

(x+1)(x+3)(x-2)(x+2) \geq 0.

Решение неравенства показано на рисунке

x \leq -3,\, -2 \leq x \leq -1,\, x \geq 2.

Учитывая ОДЗ, получим:

-2 < x < -1;\, 2 \leq x < 6

(-2;-1)\cup [2;6)