Задание №202

Заметим, что если пара (x_0;y_0) — решение системы, то пары (-x_0;-y_0), (y_0;x_0), (-y_0;-x_0) также являются решениями этой системы. Пары (x_0;y_0) и (-x_0;-y_0) различны, так как в противном случае пара (0;0) была бы решением системы, а это не так (иначе из первого уравнения 2a=0, a=0, и второе уравнение не обращается в верное равенство при x=y=0). Рассуждая аналогично, получим, что пары (y_0;x_0) и (-y_0;-x_0) тоже различны.

Система имеет два решения, если совпадают пары (x_0;y_0) и (y_0;x_0) или совпадают пары (x_0;y_0) и (-y_0;-x_0), то есть либо выполняется равенство x_0=y_0, либо выполняется равенство x_0=-y_0.

Если x_0=y_0, то исходная система уравнений примет вид:

\begin{cases}2y_0^2=2a,\\ y_0^2=a-\frac{1}{2} .\end{cases}

Эта система несовместна, так как равенство a=a-\frac{1}{2} неверно.

Если x_0=-y_0, то исходная система уравнений примет вид:

\begin{cases}2y_0^2=2a,\\ -y_0^2=a-\frac{1}{2} ,\end{cases} откуда находим a=\frac{1}{2}-a;\;a=\frac{1}{4}.

При a=\frac{1}{4} исходная система уравнений принимает вид:

\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2},\\ xy=-\frac{1}{4} .\end{cases}

Умножая второе уравнение на 2 и складывая результат с первым уравнением системы, получим равносильную систему

\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2},\\ (x+y)^2=0 ,\end{cases}\enspace откуда \enspace\begin{cases}2x^2=\frac{1}{2},\\ x=-y .\end{cases}

Эта система имеет два решения \left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right) и \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right), значит, действительно, a=\frac{1}{4} — единственное значение параметра, при котором система имеет ровно два решения.

\frac14