Задание №217

Рассмотрим систему

\begin{cases}(x-(3a^{2}+1))^{2}+a^{2}x^{6}=a^{2}(9a^{2}+1),\\y=ax^{3}; \end{cases}

равносильную исходной системе.

Преобразуем первое уравнение:

((x-1)-3a^{2})^{2}+a^{2}x^{6}=9a^{4}+a^{2},

(x-1)^{2}-6a^{2}(x-1)+ 9a^{4}+a^{2}x^{6}=\! 9a^{4} +a^{2}, 

(x-1)^{2}-6a^{2}(x-1)+ a^{2}x^{6}-a^{2}=0,

(x-1)^{2}-6a^{2}(x-1)+ a^{2}(x^{6}-1)=0,

(x-1)^{2}-6a^{2}(x-1)+ a^{2}(x^{3}-1)(x^{3}+1)=0,

(x-1)^{2}-6a^{2}(x-1)+ a^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{3}+1)=0,

(x-1)((x-1)+ a^{2}(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-5))=0,

(x-1)((x-1)+ a^{2}(x-1)(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+5))=0,

(x-1)^{2}(1+a^{2}(x^{4}+2x^{3}+ 3x^{2}+4x+5))=0. (*)

Исследуем функцию f(x)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+5 с помощью производной.

f'(x)=4x^{3}+6x^{2}+6x+4= (x+1)(4x^{2}+2x+4).

4x^{2}+2x+4>0 для любого x, поэтому f'(x) обращается в 0 в единственной точке -1.

Так как f'(x)<0 при x<-1, то f(x) убывает при всех x<-1. Так как f'(x)>0 при x>-1, то f(x) возрастает при всех x>-1.

Отсюда следует, что f(x) принимает наименьшее значение в точке -1.

Но f(-1)=3>0, поэтому f(x)>0 на всей числовой прямой.

Отсюда следует, что 1+a^{2}(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+4x+5)= 1+a^{2}f(x)>0.

Поэтому при любом a уравнение (*) имеет единственное решение x=1, система — единственное решение (1;a) при любом a.

 (-\infty ; +\infty )