Задание №201
Условие
В первом отделении банка 45% от общего числа клиентов составляют бюджетные организации и 55% частные клиенты, во втором отделении 10% составляют корпоративные клиенты, 40% бюджетные организации и 50% частные клиенты, в третьем отделении 30% корпоративные клиенты, 70% частные клиенты. После объединения трех отделений корпоративные клиенты составляют 15%. Найдите промежуток, в пределах которого может находиться процент частных клиентов.
Решение
Внесем данные в таблицу.
| Отделение банка | Число клиентов | Корпоративные клиенты | Бюджетные организации | Частные клиенты | |||
| % | Число клиентов | % | Число клиентов | % | Число клиентов | ||
| I | x | 45 | 0,45x | 55 | 0,55x | ||
| II | y | 10 | 0,1y | 40 | 0,4y | 50 | 0,5y |
| III | z | 30 | 0,3z | 70 | 0,7z | ||
| После объдинения | x+y+z | 15 | 0,1y+0,3z или 0,15(x+y+z) | 0,45x+0,4y | ? | 0,55x+0,5y+0,7z | |
Число корпоративных клиентов до объединения отделений банков и после одно и то же, поэтому можно составить уравнение 0,1y+0,3z=0,15(x+y+z), откуда z=\frac{y+3x}{3}. После объединения отделений банка доля частных клиентов стала равна A=\frac{0,55x+0,5y+0,7z}{x+y+z}.
Тогда A= \frac{0,55x+0,5y+0,7\cdot \dfrac{y+3x}{3}}{x+y+\dfrac{y+3x}{3}}= \frac{55x+50y+70\cdot \dfrac{y+3x}{3}}{100\left(x+y+\dfrac{y+3x}{3}\right)}= \frac{1}{20}\cdot \frac{11x+10y+14\cdot \dfrac{y+3x}{3}}{x+y+\dfrac{y+3x}{3}}= \frac{1}{20}\cdot \frac{75x+44y}{6x+4y}= \frac{1}{20}\cdot \frac{75+44\cdot \dfrac{y}{x}}{6+4\dfrac{y}{x}}= \frac{1}{20}\left(\frac{66+4\dfrac{y}{x}}{6+4\dfrac{y}{x}}+\frac{9}{4\dfrac{y}{x}+6}\right)= \frac{1}{20}\left(11+\frac{9}{4\dfrac{y}{x}+6}\right).
Ясно, что \frac{y}{x}>0 (по условию x>0, y>0), при этом \frac{y}{x} может принимать любые рациональные значения, большие 0).
4\cdot \frac{y}{x}+6>6,\; 0<\frac{1}{6+4\cdot\dfrac{y}{x}}<\frac{1}{6}.
11<11+\frac{9}{4\dfrac{y}{x}+6}<11+\frac{9}{6}=12,5.
Значит, процент, который могут составлять частные клиенты, то есть A·100% удовлетворяет двойному неравенству.
\frac{1}{20}\cdot 11\cdot 100< A\cdot 100< \frac{1}{20}\cdot 12,5\cdot 100.
55<A\cdot 100<62,5.
Ответ
(55%; 62,5%)