Задание №210
Условие
Петр Игнатьевич положил в банк 96 000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5% годовых, то 10% годовых. За последний год начислили 25%. Проценты начислялись и добавлялись к сумме вклада в конце каждого года. В итоге, вклад Петра Игнатьевича составил 160 083 рублей. Сколько лет в банке пролежал его вклад?
Решение
Пусть вклад лежал под 5% годовых p лет и k лет вклад лежал под 10% годовых. Тогда после p+k лет вклад составил 96\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}. Пролежав еще год, вклад достиг 96\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot1,05^{p} \cdot 1,25= 120\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}, при этом общий срок хранения равен (k+p+1) лет.
Составим уравнение:
120\:000 \cdot 1,1^{k} \cdot 1,05^{p}=160\:083.
Домножив обе части на 10^{k} \cdot 100^{p}, получим:
120\:000 \cdot 11^{k} \cdot 105^{p}= 160\:083 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},
40\:000 \cdot 11^{k} \cdot 105^{p}= 53\:361 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},
40\:000 \cdot 11^{k} \cdot3^{p} \cdot 5^{p} \cdot 7^{p}= 53\:361 \cdot 10^{k} \cdot 100^{p},
40\:000 \cdot 11^{k} \cdot 3^{p} \cdot 5^{p} \cdot 7^{p}= 3^{2}\cdot 7^{2} \cdot 11^{2} \cdot 10^{k} \cdot 100^{p} (1)
Проверим равенство (1) при p=2 и k=2.
40\:000 \cdot 25=1\:000\:000.
1\:000\:000=1\:000\:000 — равенство верно.
Число каждого из множителей 3, 7 и 11 в правой части равенства равно 2, значит, p=2 и k=2, при этом равенство верно.
Общее количество лет: k+p+1=2+2+1=5.
Ответ
5