Задание №189
Условие
Бассейн наполняется водой из трех труб. Через первую трубу поступает 20м3 воды в час. Через вторую трубу поступает на 2z м3 воды меньше, чем через первую (0<z<10), а через третью трубу на 10z м3 в час больше чем через первую. Сначала одновременно были включены первая и вторая трубы и они набрали 20% бассейна, а затем работали все три трубы и долили оставшиеся 80% бассейна. Определите, при каком значении z бассейн быстрее всего был наполнен водой указанным способом.
Решение
Примем объем бассейна за единицу. По условию первая труба наливает 20м3 воды в час, вторая — (20-2z) м3, а третья — (20+10z) м3. Работая вместе, первая и вторая трубы наливают (20+20-2z) м3 = (40-2z) м3 воды в час, а работая вместе, все три трубы наливают 20+(20-2z)+(20+10z) м3= (60+8z) м3 воды в час. Так как 20% составляют 0,2 бассейна, то первая и вторая трубы, работая вместе, затратят \frac{0,2}{40-2z} часов, а на оставшиеся 0,8 бассейна три трубы, работая вместе, затратят \frac{0,8}{60+8z} часов.
Весь бассейн будет налит за \left(\frac{0,2}{40-2z}+\frac{0,8}{60+8z}\right) часов.
Задача сводится к нахождению такого значения z, при котором значение функции t(z)=\frac{0,2}{40-2z}+\frac{0,8}{60+8z}, 0<z<10 будет наименьшим.
t'(z)= \frac{0,4}{(40-2z)^2}-\frac{6,4}{(60+8z)^2}= \frac{0,4(60+8z)^2-6,4(40-2z)^2}{(40-2z)^2\cdot (60+8z)^2}.
t'(z)=0, \begin{cases}0,4(60+8z)^2-6,4(40-2z)^2=0, \\ 40-2z\neq0, \\ 60+8z\neq0, \\ 0<z<10.\end{cases}
(60+8z)^2-16(40-2z)^2=0
3600+960z+64z^2-25600+2560z-64z^2=0
3520z=22000, z=6,25. 6,25\in (0;10).
t'(z)<0 при z<6,25 и t'(z)>0 при z>6,25, значит, z=6,25 — точка минимума функции t(z). Быстрее всего бассейн наполнится при z=6,25.
Ответ
6,25