Задание №183

Рассмотрим неравенство \sqrt{(x-y)^2} \geqslant x+y. Подкоренное выражение неотрицательно для всех значений x и y. Это неравенство выполнено при x+y\leqslant0 и при (\sqrt{(x-y)^2})^2\geqslant(x+y)^2, в первом случае y\leqslant-x, во втором x^2+y^2-2xy\geqslant x^2+y^2+2xy, xy\leqslant0, то есть либо числа x и y разных знаков, либо хотя бы одно из них равно нулю. Изобразим штриховкой множество решений этого неравенства на плоскости Oxy.

Так как 16^a-1>0, второе уравнение системы задает окружность с центром в точке (a^2; 6a-8) и радиусом \sqrt{16^{a-1}}=4^{a-1}.

Поэтому система имеет ровно два решения лишь в том случае, когда эта окружность вписана в I координатный угол. Но тогда центр окружности лежит на биссектрисе I координатного угла, а значит, на прямой y=x при x>0. Отсюда a^2=6a-8, a^2>0, то есть a^2-6a+8=0, a\neq0, следовательно a=2 или a=4. Если a=2 или a=4, то окружность будет касаться стороны I координатного угла в том и только том случае, когда радиус R окружности равен абсциссе центра окружности, то есть a^2=4^{a-1}. При a=2 получим a^2=4, 4^{a-1}=4. При a=4 получим a^2=16, 4^{a-1}=64. Таким образом, a=2 - единственное подходящее значение.

2