Задание №175
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений.
\begin{cases}8x-8y-40=\left | x^{2}+y^{2}-25 \right |, \\ y=ax-5 \end{cases}
Решение
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
1) Если x^{2}+y^{2}-25\geqslant 0 (данному неравенству удовлетворяют точки вне круга и точки окружности с центром (0; 0) и радиусом 5), то получаем уравнение
8x-8y-40=x^{2}+y^{2}-25,
x^{2}-8x+16+y^{2}+8y+16=32-40+25,
(x-4)^{2}+(y+4)^{2}=17.
Полученное уравнение задает окружность с центром A(4;-4) и радиусом \sqrt{17}. Учитывая условие x^{2}+y^{2}-25\geqslant 0, получаем дугу с концами в точках M(0;-5) и N(5;0).
2) Если x^{2}+y^{2}-25\leqslant 0 (это точки круга), то получаем уравнение
8x-8y-40=-x^{2}-y^{2}+25,
x^{2}+8x+y^{2}-8y=65,
(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=97. Полученное уравнение задает окружность с центром B(-4;4) и радиусом \sqrt{97}. Учитывая условие, получаем дугу с концами в точках M и N.
Рассмотрим второе уравнение системы y=ax-5. Оно задает прямую l, проходящую через точку M(0;-5).
При a=1 прямая проходит через точки M и N и исходная система имеет два решения, при a>1 прямая имеет с дугами единственную общую точку M.
Найдем a, при котором прямая l касается окружности с центром B в точке M. Тогда l\perp BM. Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1.
K_{BM}=-\frac{9}{4}, K_{BM}\cdot a=-1, a=\frac{4}{9}. При этом прямая имеет две общие точки с дугами, то есть в системе два решения.
При a<\frac{4}{9} у прямой с меньшей дугой общая точка M, а с большей M и еще не более одной точки. Значит, система имеет не больше двух решений.
При \frac{4}{9}<a<1 прямая имеет с дугами по две общие точки, одна из которых M.
Значит, исходная система имеет более двух решений при \frac{4}{9}<a<1.
Ответ
\left ( \frac{4}{9};1 \right )