Задание №174
Условие
10 июня в банке взяли кредит сроком на год и три месяца. Каждый месяц третьего числа долг возрастает на a% в сравнении с концом предыдущего месяца. С четвертого по девятое число каждого месяца нужно выплатить часть долга, при этом десятого числа долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на десятое число предыдущего месяца.
Найдите a, если сумма выплаченных денег после погашения кредита на 16% больше суммы денег, взятых в кредит.
Решение
Пусть сумма кредита равна A. После выплаты клиента долг уменьшается на одинаковую сумму, через 15 месяцев он станет 0, значит после 1-й выплаты он уменьшится на \frac{A}{15} и станет \frac{14A}{15}, после 2-й - \frac{13A}{15},..., после 14-й - \frac{A}{15}, после 15-й - 0.
Если долг увеличится на a% то сумма долга возрастет в q=\frac{100+a}{100} раз. Значит, 3 июля долг станет равен A\cdot q, через месяц \frac{14A}{15}q, через 2 месяца - \frac{13A}{15}q ,..., через 14 месяцев - \frac{A}{15}q.
Выплаты - разность между суммой долга до и после выплаты клиента, то есть в 1-й месяц A\cdot q -\frac{14A}{15}, во 2-й месяц \frac{14A}{15}q-\frac{13A}{15},..., в предпоследний месяц \frac{2A}{15}q-\frac{A}{15}, в последний \frac{A}{15}q-0. Всего следует выплатить Aq-\frac{14A}{15}+\frac{14A}{15}q-\frac{13A}{15}+... +\frac{2A}{15}q-\frac{A}{15}+\frac{A}{15}q-0, что по условию равно 1,16A.
Aq\left ( 1+\frac{14}{15}+\frac{13}{15}+...+\frac{1}{15} \right )- A\left ( \frac{14}{15}+\frac{13}{15}+...+\frac{1}{15} \right )= A\left ( 1+\frac{14}{15}+\frac{13}{15}+...+\frac{1}{15} \right )(q-1)+A= A+A(q-1)\frac{(15+1)\cdot 15}{15\cdot 2}= A+A(q-1)\cdot 8=A(1+(q-1)\cdot 8)=1,16A.
1+(q-1)\cdot 8=1,16
(q-1)\cdot 8=0,16
q-1=0,02
q=1,02
a=2.
Ответ
2