Задание №170
Условие
Площадь сечения, плоскостью SAC, правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 32\sqrt{3}, а площадь основания пирамиды ABCD равна 64.
а) Докажите, что угол между плоскостью основания, правильной четырехугольной пирамиды и боковым ребром равен 60^{\circ}.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение
Сторона основания пирамиды равна 8. Тогда диагональ основания AC равна 8\sqrt{2}.
Пусть SH – высота пирамиды, тогда угол между боковым ребром SA и плоскостью основания – это угол SAC.
а) Площадь треугольника SAC равна \frac{1}{2}AC\cdot SH=32\sqrt{3}, откуда SH=\frac{64\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}=4\sqrt{6}.
Следовательно, tg SAC=\frac{SH}{AH}= \frac{4\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}=\sqrt{3}, а значит угол SAC равен 60^{\circ}.
б) Возьмем SM – за высоту грани SAB. Тогда получим
SM=\sqrt{SH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{96+16}=4\sqrt{7}.
Отсюда следует S_{SAB}=\frac{SM\cdot AB}{2}=4\sqrt{7}\cdot 4=16\sqrt{7}.
Следовательно, площадь боковой поверхности равна 16\sqrt{7}\cdot 4=64\sqrt{7} – что и требовалось найти по условию.
Ответ
б) 64\sqrt{7}