Задание №1219

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Из пункта A, расположенного на берегу реки, вверх против течения направились две моторные лодки. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость «быстрой» лодки на 3 км/ч больше скорости «медленной» лодки. Через некоторое время они повернули обратно, и «медленная» лодка пришла в пункт A раньше, чем «быстрая», на время не меньше, чем \frac1{15} того времени, которое лодки шли от начала движения до поворота.

Найдите наибольшее целое значение скорости «быстрой» лодки, если собственные скорости лодок больше скорости течения.

Показать решение

Решение

1. Пусть x км/ч — скорость «быстрой» лодки, тогда (x-3) км/ч — скорость «медленной» лодки. Обозначим через t время движения лодок от начала движения до поворота (в часах).

2. Найдём время, затраченное «быстрой» лодкой на весь путь. Так как эта лодка сначала шла t часов против течения, то она прошла расстояние (x-2)\cdot t км. На обратный путь уже по течению она затратила время \frac{(x-2)t}{x+2} часов.

3 Аналогично, согласно условию, медленная лодка шла против течения t часов со скоростью ((x-3)-2)=(x-5) км/ч и прошла расстояние (x-5)\cdot t км. При этом x-5>0.

На обратный путь эта лодка затратила время \frac{(x-5)\cdot t}{(x-3)+2}=\frac{(x-5)\cdot t}{x-1} часов, так как шла по течению.

4. Согласно условию время движения «быстрой» лодки не менее, чем на \frac1{15} t больше времени движения «медленной» лодки. Поэтому справедливо неравенство

\frac{(x-2)t}{x+2}-\frac{(x-5)t}{x-1} \geqslant \frac1{15} t, (t>0),

\frac{x-2}{x+2}-\frac{x-5}{x-1}-\frac1{15} \geqslant 0, (x+2>0, x-1>0)

15(x-2)(x-1)-15(x-5)(x+2)\,\,- (x+2)(x-1) \geqslant 0,

15x^2-45x+30-15x^2+45x+150\,\,- x^2-x+2 \geqslant 0,

-x^2-x+182 \geqslant 0,

x^2+x-182 \leqslant 0.

Решаем неравенство графически. Находим корни трёхчлена x^2+x-182.

x_{1,2}= \frac{-1\pm \sqrt {1+4\cdot 182}}2= \frac{-1\pm\sqrt {729}}2= \frac{-1\pm27}2 ,

x_1=-14, x_2=13.

Парабола

Ветви параболы y=x^2+x-182 направлены вверх, эскиз графика имеет вид, изображённый на рисунке.

Неравенство выполнено, если -14 \leqslant x \leqslant 13.

С учётом ограничения x>5 получим, что наибольшим целым значением x, удовлетворяющим неравенству будет x=13.

Ответ

13

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие онлайн-курсы для подготовки к ЕГЭ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены