Задание №1214

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счёту прибавляется 10% от находящейся на счёте суммы; 2) к его счёту прибавляется 5% от находящейся на счёте суммы и дополнительно 50 тысяч рублей. Известно, что если Иван будет оптимально выбирать схему начисления, то по прошествии 4 лет он сможет получить 417\,967 рублей прибыли. Найдите, сколько рублей положил на счёт Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один.

Показать решение

Решение

План решения.

Заметим, что в качестве единицы измерения удобнее (но не обязательно!) взять тысячу рублей, а не рубль, чтобы не иметь дела с большими числами.

1. Найдём, при какой величине текущей суммы выгоднее выбирать первый способ начисления прибыли, а при какой — второй. Определим, что, пока текущая сумма меньше 1000 тысяч рублей, выгоднее выбирать второй способ начисления прибыли, а когда она превысит 1000 тысяч, то первый. Если сумма равна 1000 тысяч, то схемы принесут одинаковую прибыль.

2. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально не меньше 1000 тысяч. Получим противоречие.

3. Попробуем решить задачу, предполагая, что сумма на счёте изначально меньше 1000 тысяч, но после получения прибыли за первый год станет не меньше 1000 тысяч. Если получим противоречие, предположим, что сумма на счёте станет не меньше 1000 тысяч только после получения прибыли за второй год, и так далее, пока не получим подходящее решение.

Решение.

1. Пусть текущая сумма равна S тысяч рублей, S>0.

\left( 1+\frac{10}{100} \right) S\geqslant \left( 1+\frac5{100} \right) S+50,

x\geqslant 1000.

2. Пусть Иван положил в банк x тысяч рублей, x>0.

Если x \geqslant 1000, то максимальная прибыль равна 1,1^4\cdot x-x= 1,4641x-x= 0,4641x \geqslant 464,1, что противоречит условию (по условию максимальная прибыль равна 417,967 тысяч рублей).

3.1. Если x<1000, но 1,05x+50 \geqslant 1000, то максимальная прибыль равна (1,05x+50)\cdot 1,1^3-x= 0,39755x+66,55= 417,967, x=\frac{351,417}{0,39755}<900. Но тогда 1,05x+50<1,05\cdot 900+50<1000, что противоречит предположению.

3.2. 1,05x+50<1000 и (1,05x+50)\cdot 1,05+50 \geqslant 1000. В этом случае максимальная прибыль равна

((1,05x+50)\cdot 1,05+50)\cdot 1,1^2-x= 0,334025x+124,025.

Из уравнения 0,334025x+124,025=417,967 получим: x=880 (тысяч рублей).

Убедимся, что при этом значении x выполняются неравенства 1,05x+50<1000 и (1,05x+50)\cdot 1,05+50 \geqslant 1000.