Задание №1212
Условие
Индивидуальному предпринимателю 15 марта был выдан кредит на приобретение оборудования. В нижеследующей таблице указан график его погашения. Текущий долг указывается в процентах:
| Дата | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 | 15.08 | 15.09 |
| Текущий долг | 100% | 80% | 65% | 45% | 30% | 20% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5%. После этого в первой половине последующего месяца вкладчик обязан внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице текущему долгу на 15 число этого месяца. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решение
Обозначим через K сумму выданного кредита, а через x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 и x_6 — выплаты по кредиту в апреле, мае, июне, июле, августе и сентябре. Тогда по условию на конец марта текущий долг будет равен 1,05\cdot K. После уплаты суммы x_1 он станет равным 1,05\cdot K-x_1 и будет равен 80% от K, то есть 0,8\cdot K. Составляем первое уравнение: 1,05\cdot K-x_1=0,8\cdot K.
Далее этот текущий долг опять увеличивается на 5%, и опять уплачивается сумма x_2, после чего останется 65% от K. Получаем второе уравнение:
1,05\cdot 0,8\cdot K-x_2=0,65\cdot K.
Последующие уравнения будут иметь вид:
1,05\cdot 0,65\cdot K-x_3=0,45\cdot K;
1,05\cdot 0,45\cdot K-x_4=0,3\cdot K;
1,05\cdot 0,3\cdot K-x_5=0,2\cdot K;
1,05\cdot 0,2\cdot K-x_6=0.
Складывая полученные уравнения, имеем:
1,05K\,\cdot (1+0,8+0,65+0,45+0,3+0,2)\,\,- (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)= K\cdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2).
Отсюда x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 +x_6= K\cdot (1,05+0,05\cdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2))= K\cdot (1,05+0,05\cdot 2,4)= K\cdot (1,05+0,12)= K\cdot 1,17.
Получаем, что сумма всех выплат больше суммы кредита на 0,17K, то есть на 17% от K.
Ответ
17