Задание №1211
Условие
Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство, причём через год эффективность вложения ожидается в размере 250% (то есть вложенная сумма x млн рублей оборачивается в капитал 2,5x млн рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022x^2 млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?
Решение
Пусть x млн рублей инвестировано в производство, тогда в банке размещено (400-x) млн рублей.
Деньги в банке размещены под 12% годовых, поэтому через год в банке станет 1,12(400-x) млн рублей.
По условию через год эффективность вложения в производство ожидается в размере 250%, то есть вложенные x млн рублей превратятся в 2,5x млн рублей. Теперь от 2,5x нужно вычесть деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью: (2,5x-0,0022x^2 ) млн рублей, после чего нужно заплатить налог в 20% от этой суммы, поэтому останется 80% этой суммы, то есть 0,8\cdot (2,5x-0,0022x^2 ) млн рублей.
Рассмотрим функцию прибыли
f(x)= 1,12(400-x)\,\,+ 0,8\cdot (2,5x-0,0022x^2 )-400,
f(x)= 448-1,12x+2x-0,8\cdot 0,0022x^2-400,
f(x)=-0,8\cdot 0,0022x^2+0,88x+48.
Это квадратичная функция, наибольшее значение она принимает в точке x= \frac{-0,88}{2\cdot (-0,8\cdot 0,0022)} = \frac{88000}{2\cdot 8\cdot 22}= 250.
f(250)= -0,8\cdot 0,0022\cdot 250^2+0,88\cdot 250+48= -110+220+48= 158 (млн рублей).
Итак, прибыль составит 158 млн рублей.
Ответ
158