Задание №1204
Условие
Биссектриса острого угла A равнобедренной трапеции ABCD пересекает её основание в точке K. В этой трапеции расположены две равные окружности радиусом 2, касающиеся её сторон и друг друга, причём K — одна из точек касания.
а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.
б) Найдите площадь трапеции.
Решение
а) AK — биссектриса угла \angle BAD, значит, \angle BAK=\angle KAH. Основания AD и BC трапеции параллельны, значит, \angle KAH=\angle AKB (как накрест лежащие). Поэтому \angle BAK=\angle AKB, и треугольник ABK равнобедренный.
б) Пусть CF=x, FD=y, радиус окружности r, тогда, учитывая, что отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны и треугольник ABK равнобедренный, BC=2x+y.
С другой стороны, учитывая, что точка M — середина основания BC, получим BC=2x+2r, поэтому y=2r=4.
\angle COD=90^{\circ} как угол, образованный двумя биссектрисами смежных углов. Из \triangle COD, OF^2=CF\cdot FD, r^2=xy, но y=2r. Тогда r=2x, x=1.
Найдём основания трапеции BC=2(x+r)=2\cdot (1+2)=6, AD=2(y+r)=2\cdot (4+2)=12. KH=2r=4
S= \frac12(BC+AD)\cdot KH= \frac12\cdot (6+12)\cdot 4= 36.
Ответ
36
Светлана Дзюба /