Задание №1201
Условие
В трапеции KLMN боковая сторона KL перпендикулярна основаниям. Из точки K на сторону MN опустили перпендикуляр KA. На стороне KL отмечена точка B так, что прямые LA и BN параллельны.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите отношение LA:BN, если угол LMN равен 150^{\circ}.
Решение
а) Для доказательства перпендикулярности прямых BM и MN достаточно доказать, что BM \parallel KA, а это выполняется в случае, если подобны треугольники SBM и SKA, то есть если справедливо равенство \frac{SB}{SK}=\frac{SM}{SA}.
Пусть \angle SML=\alpha , тогда \angle SKA=\angle ANK=\alpha. Из параллельности прямых LA и BN следует, что треугольники SLA и SBN подобны, значит, верно равенство \frac{SL}{SB}=\frac{SA}{SN}.
В прямоугольном треугольнике SLM, \frac{SL}{SM}=\sin \alpha , откуда SM =\frac{SL}{\sin \alpha }.
В прямоугольном треугольнике SAK, \frac{SA}{SK}=\sin \alpha ,
В прямоугольном треугольнике SKN, \frac{SK}{SN}=\sin \alpha. SK=SN \sin \alpha.
Перемножая почленно равенства \frac{SA}{SK}=\sin \alpha и \frac{SK}{SN}=\sin \alpha , получим: \frac{SA}{SN}=\sin ^2 \alpha , SA=SN \sin ^2 \alpha. Учитывая, что \frac{SA}{SN}=\frac{SL}{SB}, имеем \frac{SL}{SB}=\sin ^2 \alpha , откуда SB =\frac{SL}{\sin ^2 \alpha }.
Тогда \frac{SB}{SK}= \frac{SL}{\sin ^2 \alpha\cdot SN\cdot \sin \alpha }= \frac{SL}{\sin ^3 \alpha\cdot SN}.
\frac{SM}{SA}= \frac{SL}{\sin \alpha\cdot SN \sin ^2 \alpha }= \frac{SL}{\sin ^3 \alpha\cdot SN}. Правые части равенств равны, следовательно, \frac{SB}{SK}=\frac{SM}{SA}, значит, прямые LA и BN параллельны, и BM и MN перпендикулярны.
б) В силу подобия треугольников SML и SKN, \frac{LA}{BN}=\frac{SL}{SB}.
Как показано в пункте а), \frac{SL}{SB}=\sin ^2 \alpha. По условию \angle LMN=150^{\circ}, \angle LMN+\alpha =180^{\circ}, \alpha =180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}.
\frac{SL}{SB}=\sin ^2 \alpha =\sin ^2 30^{\circ}=\frac14.
Ответ
б) \frac14.