Задание №1003
Условие
Две окружности, с центрами O_{1} и O_{2} соответственно касаются внешним образом. Из точки O_{1} проведена касательная O_{1}K ко второй окружности (K — точка касания), а из точки O_{2} проведена касательная O_{2}L к первой окружности (L — точка касания), точки касания K и L лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}.
а) Докажите, что \angle O_{1}KL=\angle O_{1}O_{2}L.
б) Найдите радиус меньшей окружности, если дополнительно известно, что он в 4 раза меньше радиуса большей окружности, а площадь четырёхугольника O_{1}KO_{2}L равна 54+9\sqrt{6}.
Решение
а) По свойству касательной к окружности O_{1}L \perp O_{2}L и O_{1}K \perp O_{2}K. Прямоугольный \bigtriangleup O_{1}O_{2}K вписан в некоторую окружность с диаметром O_{1}O_{2}.
Аналогично прямоугольный \bigtriangleup O_{1}O_{2}L вписан в некоторую окружность с тем же диаметром. Следовательно, \bigtriangleup O_{1}O_{2}K и O_{1}O_{2}L вписаны в одну и ту же окружность, то есть точки O_{1}, O_{2}, K, L лежат на окружности с диаметром O_{1}O_{2}. Значит, \angle O_{1}O_{2}L и \angle O_{1}KL — вписанные и опираются на одну и ту же дугу O_{1}L. Отсюда, \angle O_{1}KL=\angle O_{1}O_{2}L.
б) Пусть O_{1}L — радиус меньшей окружности. Обозначим его через r. Следовательно, O_{2}K=4r. Тогда O_{1}O_{2}=r+4r=5r. Отсюда из \bigtriangleup O_{1}LO_{2} по теореме Пифагора O_{2}L=\sqrt{(5r)^2-r^2}=2\sqrt{6}r. Из \bigtriangleup O_{1}KO_{2} по теореме Пифагора O_{1}K=\sqrt{(5r)^2-(4r)^2}=3r.
S_{O_{1}LO_{2}}=\frac{1}{2}O_{1}L \cdot LO_{2}=\sqrt{6}r^2.
S_{O_{1}KO_{2}}=\frac{1}{2}O_{2}K \cdot O_{1}K=6r^2.
S_{O_{1}KO_{2}L}= S_{O_{1}LO_{2}}+S_{O_{1}KO_{2}}= (6+\sqrt{6})r^2.
Из условия следует, что S_{O_{1}KO_{2}L}=54+9\sqrt{6}. Тогда (6+\sqrt{6})r^2=54+9\sqrt{6}, (6+\sqrt{6})r^2=9(6+\sqrt{6}), r=3.
Ответ
3