Задание №1198
Условие
Для x\geqslant 0 решите систему неравенств
\begin{cases} x^4-3x^3-3x^2+5x+12\geqslant 0,\\ x^4-4x^3+x^2+4x+6\leqslant 0. \end{cases}
Решение
1. Заметим, что x=0 решением системы не является, так как второе неравенство системы при x=0 не является верным (6 \leqslant 0). Пусть x>0.
Вычитая из первого неравенства второе, получаем
x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0.
А вычитая из второго неравенства системы последнее неравенство, получаем
x^4-5x^3+5x^2+3x \leqslant 0,
x(x^3-5x^2+5x+3) \leqslant 0.
Так как x>0, то из последнего неравенства получаем:
x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0.
Таким образом система неравенств
\begin{cases} x^3-4x^2+x+6 \geqslant 0, \\ x^3-5x^2+5x+3 \leqslant 0 \end{cases}
является следствием исходной.
Вычитая из первого неравенства последней системы второе, умноженное на 2, и деля полученное неравенство на -x (причём снова обращаем внимание на известное нам ограничение x>0), получаем x^2-6x+9 \leqslant 0.
Последнее неравенство (следствие исходной системы) имеет единственное решение x=3. Простой подстановкой убеждаемся, что x=3 является решением системы.
Ответ
3
Ян Кушнирский /