Задание №221
Условие
Решите неравенство \log_{3}\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{1+\log_{3}9x}\geq 0.
Решение
Преобразуем неравенство:
\log_{3}3-\log_{3}x^{2}+\frac{4}{\log_{3}9+\log_{3}x+1} \geq 0
так как x>0, то 1-2\log_{3}x+\frac{4}{3+\log_{3}x} \geq 0.
Обозначим \log_{3}x=t. Получим неравенство 1-2t+\frac{4}{t+3} \geq0.
\frac{t+3-2t(t+3)+4}{t+3} \geq0;
\frac{-2t^{2}-5t+7}{t+3} \geq0;
\frac{-(t-1)(t+\dfrac{7}{2})}{t+3} \geq 0.
.png){kind=small}
Значит, t \leq -3,5 или -3 < t \leq 1. Возвращаясь к x, получаем \log_{3}x \leq -3,5,\: 0<x\leq3^{-3,5}
-3<\log_{3}x \leq1,\: \frac{1}{27} < x \leq 3.
Ответ
\left (0; \frac{\sqrt 3}{81} \right ] \cup \left (\frac{1}{27}; 3 \right ]
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Дарья Баранова /