Задание №1197

ОДЗ неравенства: \begin{cases} x>0, \\ x\neq 1, \\ x\neq \frac14. \end{cases}

Т.к. \frac1{\log_x 0,5}= -\frac1{\log_x 2}= -\log_2 x, а \log_{4x} 2 =\frac1{\log_2 x+2}, то неравенство примет вид: -\log_2 x+6 \geqslant \frac{16}{\log_2 x+2}. Пусть \log_2 x=t, тогда \frac{16}{t+2}+ t-6 \leqslant 0, \frac{(t-2)^2}{t+2}\leqslant 0, t=2 или t<-2. \log_2 x=2, откуда x=4 или \log_2 x<-2, откуда x<\frac14. Учитывая ОДЗ, получим 0 < x < \frac14, x=4.

\left( 0;\,\frac14\right) , 4.