Задание №1196

Заметим, что x>0, x \neq \frac12, x \neq 1.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

\frac1{\log_2x}+\frac2{\log_22x}\geqslant 2,

\frac1{\log_2x}+\frac2{\log_22+\log_2x}\geqslant 2,

\frac1{\log_2x}+\frac2{1+\log_2x}\geqslant 2.

Пусть \log_2x=t, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

\frac1t+\frac2{1+t}\geqslant 2,

\frac{(1+t)+2t-2t(1+t)}{t(1+t)}\geqslant 0,

\frac{2t^3-t-1}{t(1+t)}\leqslant 0,

\frac{(2t+1)(t-1)}{t(t+1)}\leqslant 0.

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной x:

1. -1< t \leqslant -\frac12,

\log_2\frac12<\log_2x\leqslant \log_2\frac1{\sqrt 2},

\frac12<x\leqslant \frac1{\sqrt 2}.

2. 0<t\leqslant 1,

\log_21<\log_2x\leqslant \log_22,

1<x\leqslant 2.

Так как найденные значения переменной удовлетворяют ОДЗ, то решение неравенства — \left( \frac12; \frac1{\sqrt 2}\right] \cup (1; 2].

\left( \frac12; \frac1{\sqrt 2}\right] \cup (1; 2].