Задание №1187
Условие
В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра CC_1, на ребре BB_1 отмечена точка N, такая, что BN:NB_1=1:2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD_1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
Решение
а) Плоскость AMN пересекает ребро DD_1 в точке K, являющейся четвёртой вершиной сечения данной призмы этой плоскостью. Сечением является параллелограмм ANMK, потому что противоположные грани данной призмы параллельны.
.png)
BN =\frac13BB_1=2. Проведём KL \parallel CD, тогда треугольники ABN и KLM равны, значит ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Тогда KD_1=6-1=5. Теперь можно найти отношение KD:KD_1=1:5.
б) F — точка пересечения прямых CD и KM. Плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AF. Угол \angle KHD =\alpha — линейный угол двугранного угла (HD\perp AF, тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, KH \perp AF), и является острым углом прямоугольного треугольника KHD, катет KD=1.
Треугольники FKD и FMC подобны (KD \parallel MC), поэтому FD:FC=KD:MC, решая пропорцию FD:(FD+4)=1:3, получим FD=2. В прямоугольном треугольнике AFD (\angle D=90^{\circ}) с катетами 2 и 4 вычислим гипотенузу AF=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac{4\cdot 2}{2\sqrt 5}= \frac4{\sqrt 5}.
В прямоугольном треугольнике KHD найдём tg \alpha =\frac{KD}{DH}=\frac{\sqrt 5}4, значит, искомый угол \alpha =arctg\frac{\sqrt 5}4.
Ответ
а) 1:5;
б) arctg\frac{\sqrt 5}4.