Задание №1170
Условие
а) Решите уравнение 2\cos x\left( \cos x+\cos \frac{5\pi }4\right) + \cos x+\cos \frac{3\pi }4=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \pi ;\,\frac{5\pi }2\right).
Решение
а) Так как \cos \frac{5\pi }4= \cos \left( \pi +\frac\pi 4\right) = -\cos \frac\pi 4= -\frac{\sqrt 2}2 и \cos \frac{3\pi }4= \cos \left( \pi -\frac\pi 4\right) = -\cos \frac\pi 4= -\frac{\sqrt 2}2, то уравнение примет вид: 2\cos x\left( \cos x-\frac{\sqrt 2}2\right) +\cos x-\frac{\sqrt 2}2=0.Отсюда (2\cos x+1)\left( \cos x-\frac{\sqrt 2}2\right) =0.
Тогда \cos x=-\frac12; x=\pm\frac{2\pi }3+2\pi n или \cos x=\frac{\sqrt 2}2;\, x=\pm\frac\pi 4+2\pi n, где n \in \mathbb Z.
б) Корни, принадлежащие промежутку \left[ \pi ;\,\frac{5\pi }2\right), найдём с помощью числовой окружности: \frac{4\pi }3;\,\, \frac{7\pi }4;\,\, \frac{9\pi }4.
Ответ
а) \pm\frac{2\pi }3+2\pi n;\,\, \pm\frac\pi 4=2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) \frac{4\pi }3;\, \frac{7\pi }4;\, \frac{9\pi }4.