Задание №1167

а) После замены t=\log_2\left( \frac{\sin x}{2}\right) исходное уравнение примет вид 2t^2-7t-15=0. Корни этого уравнения t=\frac{-3}{2}, t=5. Возвращаясь к переменной x, получим:

\left[\!\!\begin{array}{l} \log_2\left( \frac{\sin x}{2}\right) =5, \\ \log_2\left( \frac{\sin x}{2}\right) =\frac{-3}{2}; \end{array}\right. \left[\!\!\begin{array}{l} \frac{\sin x}{2} =2^5, \\ \frac{\sin x}{2} =\frac{1}{2\sqrt 2}. \end{array}\right.

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим:

x=(-1)^n\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x =\frac\pi 4+2\pi n, n \in \mathbb Z или x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k, k \in \mathbb Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства \frac\pi 2\leqslant \frac\pi 4+2\pi n\leqslant 3\pi и \frac\pi 2\leqslant \frac{3\pi }{4}+2\pi k\leqslant 3\pi.

Получим: \frac18\leqslant n\leqslant \frac{11}{8} и -\frac18\leqslant k\leqslant \frac98, откуда следует, что n=1, k=0, k=1.

При n=1\enspace x=\frac\pi 4+2\pi\cdot 1=\frac{9\pi}4.

При k=0\enspace x=\frac{3\pi }{4}.

При k=1\enspace x=\frac{3\pi }{4}+2\pi\cdot 1=\frac{11\pi }{4}.

Итак, \frac{3\pi }{4}, \frac{9\pi }{4}, \frac{11\pi }{4} — корни уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac\pi 2; 3\pi \right].

а) (-1)^n\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{3\pi }{4}, \frac{9\pi }{4}, \frac{11\pi }{4}