Задание №979

а) Преобразуем уравнение, согласно формуле приведения

\cos \left ( x+\frac{\pi}{2}\right )=-\sin x:

2\cos^2 x+5\cos x+2=0.

Обозначим \cos x=t, -1 \leq t \leq 1, получим 2t^2+5t+2=0.

t_{1}=\frac{-5-3}{2 \cdot 2}=-2 — не удовлетворяет условию -1 \leq t \leq 1.

t_{2}=\frac{-5+3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.

Вернёмся к исходной переменной:

\cos x=-\frac{1}{2},

x=\pm \left ( \pi - \frac{\pi}{3}\right )+2\pi n, n \in \mathbb Z,

x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие промежутку \left [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right ], найдём с помощью единичной окружности.

Получаем числа \frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}.

а) \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}