Задание №1144

Пусть (x_0; y_0) — точка, в которой прямая y=-2x+5 касается графика функции y=ax^2+2x+7. Тогда угловой коэффициент касательной к графику функции y=ax^2+2x+7 в точке x_0 равен y'(x_0). Но y'=2ax+2, значит y'(x_0)=2ax_0+2.

Угловой коэффициент касательной y=-2x+5, указанной в условии, равен -2. Поэтому 2ax_0+2=-2. Отсюда, a \neq 0.

Кроме того точка (x_0; y_0) лежит на прямой y=-2x+5 и на графике функции y=ax^2+2x+7. Значит, выполняется равенство y_0=-2x_0+5=ax_0^2+2x_0+7. Получаем систему:

\begin{cases} 2ax_0+2=-2, \\ -2x_0+5=ax_0^2+2x_0+7; \end{cases}

\begin{cases} x_0=-\frac2a, \\ ax_0^2+4x_0+2=0; \end{cases}

a\left(-\frac2a\right)^2+4\left(-\frac2a\right)+2=0,

\frac4a-\frac8a+2=0,

\frac4a=2,

a=2;