Задание №1132
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отрезке \left[\frac35; \frac75\right].
Решение
ОДЗ: x>0.
Найдём производную исходной функции:
y'(x)= 10x-12+\frac{2}{x}= \frac{10x^2-12x+2}{x}.
Определим нули производной: y'(x)=0;
\frac{10x^2-12x+2}{x}=0,
5x^2-6x+1=0,
x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{3^2-5\cdot1}}{5}= \frac{3\pm2}{5},
x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],
x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.
.png)
Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac35; 1\right]исходная функция убывает, а на отрезке \left[1; \frac75\right]возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке \left[\frac35; \frac75\right]достигается при x=1 и равно y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.