Задание №1124
Условие
Найдите наибольшее значение функции y=4x^2-19x+11\ln x+715 на отрезке \left[\frac34; \frac54\right].
Решение
ОДЗ: x>0.
Найдём производную исходной функции:
y'(x)= 8x-19+\frac{11}{x}= \frac{8x^2-19x+11}{x}.
Определим нули производной: y'(x)=0;
\frac{8x^2-19x+11}{x}=0,
8x^2-19x+11=0,
x_{1,2}= \frac{19\pm\sqrt{19^2-4\cdot8\cdot11}}{2\cdot8}= \frac{19\pm3}{16},
x_1=1,
x_1\in \left[\frac34; \frac54\right],
x_2=\frac{22}{16}=\frac{11}{8}>\frac{10}{8}=\frac{5}{4},
x_2\notin \left[\frac34; \frac54\right].
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
.png)
Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac34; 1\right] исходная функция возрастает, а на отрезке \left[1; \frac54\right] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке \left[\frac34; \frac54\right] достигается при x=1 и равно y(1)= 4\cdot 1^2-19\cdot 1+11 \ln 1+715= 700.