Задание №1116
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=7x-\ln(x+11)^7 на отрезке [-10,5;\,\,0].
Решение
ОДЗ: (x+11)^7>0, x+11>0, x>-11. На ОДЗ исходная функция примет вид:y=7x-7 \ln (x+11).
Найдём производную: y'=7-\frac{7}{x+11}. Определим нули производной: 7-\frac{7}{x+11}=0,
\frac{1}{x+11}=1,
x=-10.
Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
.png)
Из рисунка видно, что на отрезке [-10,5; -10] исходная функция убывает, а на отрезке [-10; 0] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [-10,5; 0] достигается при x=-10 и равно y(-10)= 7\cdot (-10)-\ln (-10+11)^7= -70.
Ответ
-70
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.