Задание №1118
Условие
Найдите наименьшее значение функции y=24+\frac{9\pi}{4}-9x-9\sqrt2\cos x на отрезке \left[0; \frac{\pi}{2}\right].
Решение
Найдём производную исходной функции: y'=-9+9\sqrt 2 \sin x. Вычислим нули производной: y'=0;
-9+9\sqrt 2\sin x=0;
\sin x=\frac{\sqrt2}{2}.
На отрезке \left[0; \frac{\pi}{2}\right] этому уравнению удовлетворяет только x=\frac{\pi}{4}. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом отрезке.
.png)
Из рисунка видно, что при x<\frac{\pi}{4} выполняется y'(x)<0 и исходная функция убывает. Аналогично, при x>\frac{\pi}{4} выполняется y'(x)>0 и исходная функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при x=\frac{\pi}{4} и равно y\left(\frac{\pi}{4}\right)= 24+\frac{9\pi}{4}-9\cdot\frac{\pi}{4}-9\sqrt2\cos \frac{\pi}{4}= 24-9=15.