Задание №111
Условие
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4, высота равна 2. Найдите объем пирамиды.
.png)
Решение
.png)
Объем пирамиды вычисляется по формуле
V=\frac13Sh
где S – площадь основания; h – высота пирамиды
Для нахождения площади, найдем диагональ квадрата основания пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является сторона пирамиды, а одним из катетов высота пирамиды. По теореме Пифагора диагональ будет равна:
d=2\cdot\sqrt{4^2-2^2}=2\cdot\sqrt{12}=4\sqrt{3}
Зная угол CAB = 45^{\circ} прямоугольного треугольника ABC мы можем найти сторону AB:
AB=d\cdot\cos 45^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}
Площадь основания равна:
S = \left ( 2\sqrt{6} \right )^2=4\cdot 6=24
Объем пирамиды равен:
V = \frac13\cdot 24\cdot 2=16