Задание №1016

Преобразуем второе уравнение системы x(1+y)=-2-y. Если y=-1, то получаем неверное равенство 0=-1. При y \neq -1 имеем x=\frac{-2-y}{1+y}. Подставим полученное значение x в первое уравнение:

(2a+2)y^2+(4a+3)y+3=0.

1) Пусть 2a+2=0, то есть a=-1. Тогда получаем единственное решение системы x=-\frac{5}{4}, y=3.

2) Если a \neq -1, то имеем квадратное уравнение.

а) Квадратное уравнение имеет единственный корень, а следовательно, система имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:

D=16a^{2}-15=0. Отсюда a=\pm \frac{\sqrt{15}}{4} (условие a \neq -1 выполняется).

б) Система имеет единственное решение, если один из двух корней квадратного уравнения равен (−1). Пусть корень \frac{-4a-3+\sqrt{16a^2-15}}{4a+4}=-1. Отсюда получаем иррациональное уравнение \sqrt{16a^2-15}=-1, которое не имеет корней. Пусть корень \frac{-4a-3-\sqrt{16a^2-15}}{4a+4}=-1. Отсюда получаем иррациональное уравнение \sqrt{16a^2-15}=1, которое имеет два корня a= \pm1, один из которых не удовлетворяет условию a \neq -1.

Заметим, что найти a, при котором y=-1 — корень, можно подставив y=-1 в квадратное уравнение. Получим уравнение (2a+2) \cdot (-1)^2+ (4a+3) \cdot (-1)+3=0, откуда a=1. Мы получили, что система имеет единственное решение при a= \pm 1, a=\frac{\pm \sqrt{15}}{4}. 

-\frac{\sqrt{15}}{4};\,\frac{\sqrt{15}}{4};\,-1;\,1.