Задание №1019
Условие
При каких значениях параметра a система
\begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \\ y^2-a^2=4(y-1)-x^2\end{cases}
имеет ровно 4 решения?
Решение
Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат y^2-4y+4=(y-2)^2.
\begin{cases} 5|x|+12|y-2|=60, \\ y^2-a^2=4(y-1)-x^2;\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}5|x|+12|y-2|=60, \\ x^2+(y-2)^2=a^2. \end{cases}
Сделав замену переменных t=y-2, получим систему
\begin{cases} 5|x|+12|t|=60,\enspace(1)\\ x^2+t^2=a^2.\enspace(2)\end{cases}
При такой замене число решений новой и старой системы одинаково. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.
График уравнения (1) — ромб, диагнали которого, равные 24 и 10, лежат соответственно на осях Ox и Ot, а графиком уравнения (2) является семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом r=|a|.
Графики уравнений системы имеют ровно 4 общие точки, и следовательно, система имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию 5 < r < 12.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12, откуда
r=|a|=\frac{5 \cdot 12}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}, a=\pm 4\frac{8}{13}.
Во втором случае получаем 5 < |a| < 12, откуда -12 < a < -5 или 5 < a < 12.
Ответ
a \in (-12;-5) \cup \left \{ \pm 4\frac{8}{13}\right \} \cup (5;12).