Задание №1015

В прямолинейной системе координат Oxy построим графики обоих уравнений для некоторых значений a. Для этого заметим, что первое уравнение задаёт окружность, а для второго — построим сначала график функции без внешнего модуля. Проанализируем, как изменяются графики в зависимости от a, и определим, в каких ситуациях графики пересекаются ровно в трех точках. Найдем граничные значения a.

Построим графики уравнений системы.

1) Преобразуем уравнение x^{2}+y^{2}+9=a^{2}+4x.

x^{2}-4x+4+y^{2}+9=a^{2}+4, (x-2)^{2}+y^{2}=a^{2}-5. При a^{2}-5 \geq 0 это окружность с центром (2; 0) и радиусом R=\sqrt{a^{2}-5}.

2) ||x-3|-|x-6||=y.

Построим сначала график уравнения y=|x-3|-|x-6|.

При x \leq 3\enspace y=-x+3+x-6, y=-3;

При 3 < x \leq 6\enspace y=x-3+x-6, y=2x-9;

При x > 6\enspace y=x-3-x+6, y=3.

Отразим ту часть графика, где y < 0, относительно оси Ox, и получим график y=||x-3|-|x-6||.

3) Система имеет не менее трёх решений, если графики имеют не менее трёх точек пересечения. По рисунку видно, что это выполняется при R_{1} \leq R \leq R_{2}, где R_{1}=3 (окружность касается прямой y=3) и R_{2} — радиус окружности, которая проходит через точку (3;3). Найдём R_{2}.

(x-2)^{2}+y^{2}=R_{2}^{2}, (3-2)^{2}+3^{2}=R_{2}^{2}, R_{2}=\sqrt{10}.

Получили 3 \leq R \leq \sqrt{10}, 3 \leq \sqrt{a^{2}-5} \leq \sqrt{10}, 14 \leq a^{2} \leq 15, \sqrt{14} \leq |a| \leq \sqrt{15}.

a \in [-\sqrt{15};-\sqrt{14}] \cup [\sqrt{14}; \sqrt{15}].

[-\sqrt{15};-\sqrt{14}] \cup [\sqrt{14}; \sqrt{15}].