Задание №1014

Условие

При каких значениях параметра a система

\begin{cases}y=|x|, \\ (x-\sin \pi a)^{2}+(y-a)^{2} \leq a \end{cases}

имеет ровно два решения?

Показать решение

Решение

Заметим, что при a < 0 неравенство системы не имеет решения, потому что левая часть неравенства неотрицательна. При a=0 оно имеет вид x^{2}+y^{2} \leq 0 и имеет единственное решение x=y=0.

Рассмотрим a > 0. Решим задачу, построив графики уравнения и неравенства. Графиком неравенства системы будет являться круг радиусом \sqrt{a} с центром в точке (\sin \pi a;a).

Графиком уравнения будут стороны угла.

Круг с центром, лежащем на биссектрисе угла образованного сторонами

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла, тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче Oy. Значит, абсцисса центра круга должна равняться нулю, \sin \pi a=0, \pi a=\pi k, k \in \mathbb Z, a=k. Значит, a \in \mathbb Z. Рассмотрим \bigtriangleup O_{1}MO, где O_{1} — центр круга, M — одна из точек касания. Тогда O_{1}O=a,  O_{1}M=\sqrt{a},  \angle O_{1}MO=90^\circ,  \angle O_{1}OM=45^\circ. Отсюда O_{1}M=O_{1}O \sin \angle O_{1}OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}. Следовательно, \frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{a}, \sqrt{a}=\sqrt{2}, a=2. Ясно, что 2 \in \mathbb Z.

Ответ

2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Рассказать друзьям

Лучшие онлайн-курсы для подготовки к ЕГЭ

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Комментарии

Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

Андрей Альмуков / 

Задача 18 математике база про Таню и косички