Задание №1013
Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
\begin{cases} y=\sqrt{-5-6x-x^{2}},\\ y-ax=2-3a\end{cases} имеет ровно два решения.
Решение
Построим график уравнения y=\sqrt{-5-6x-x^{2}}.
Преобразовав подкоренное выражение, получим
y=\sqrt{4-(x^{2}+6x+9)}, y=\sqrt{2^{2}-(x+3)^{2}}.
Если y \geq 0, то y^{2}=2^{2}-(x+3)^{2}, (x+3)^{2}+y^{2}=2^{2}.
Если y < 0, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.
Получилась полуокружность с центром в точке (-3;0) радиусом 2, лежащая в верхней полуплоскости.
Уравнение y-ax=2-3a запишем в виде y=a(x-3)+2 — семейство прямых с угловым коэффициентом a, проходящих через точку M (3;2).
Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если a_{1} < a \leq a_{2}. Прямая BM касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен 0, значит, a_{1}=0. Найдем a_{2} из условия, что прямая AM y=a(x-3)+2 проходит через точку A (-5;0).
a(-5-3)+2=0,\, a=\frac{1}{4}, значит, a_{2}=\frac{1}{4}.
Следовательно, система имеет ровно два решения при 0 < a \leq \frac{1}{4}.
Ответ
\left ( 0; \frac{1}{4}\right ]