Задание №1011
Условие
Тимур приобрёл ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год увеличивается на 3 тысячи рублей. По истечении любого числа лет Тимур может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. По истечении скольких лет после покупки Тимур должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Решение
Если Тимур продаст бумагу по истечении i-го года, то через 15 лет после покупки сумма на его счёте будет равна (3i+7) \cdot (1,1)^{15-i}. Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена последовательности a_{i}=(3i+7) \cdot (1,1)^{15-i}, где i пробегает целые значения от 1 до 15.
Попробуем выяснить, при каких i последовательность a_{i} возрастает, а при каких — убывает. Для этого рассмотрим приращение b_{i}=a_{i}-a_{i-1}. Найдём a_{i-1}.
a_{i-1}= (3(i-1)+7) \cdot 1,1^{15-(i-1)}= (3i+4) \cdot 1,1^{15-i} \cdot 1,1 (i \geq 1).
b_{i}= a_{i}-a_{i-1}= (1,1)^{15-i}(3i+7-3,3i-4,4)= (1,1)^{15-i}(2,6-0,3i).
Отсюда b_{i} > 0 при 1 \leq i \leq 8 и b_{i} < 0 при i > 8. Следовательно, a_{0} < a_{1} < ... < a_{8} > a_{9} > ... > a_{15}. Отсюда наибольшее значение последовательность a_{i} принимает при i = 8.
Ответ
8 лет.
Анастасия Романова /
Анастасия Романова /