Задание №1010

Пусть x — доля мощностей комбината, занятых под производство котлет из свиного фарша, а y — доля мощностей, занятых под производство котлет из говяжьего фарша. Тогда x+y=1, при этом котлет из свиного фарша производится 36x центнеров, а котлет из говяжьего фарша — 30y центнеров. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что

36x \geq 12, 30y \geq 12, откуда x \geq \frac{1}{3}, y \geq \frac{2}{5}. Тогда \begin{cases} y=1-x, \\ x \geq \frac{1}{3},\,y \geq \frac{2}{5}\end{cases} или \begin{cases} y=1-x, \\ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{5}. \end{cases}

Так как каждый центнер котлет из свиного фарша даёт прибыль 7000 руб. (22\,000-15\,000), а центнер котлет из говяжьего фарша — 10 000 руб. (28\,000-18\,000), то общая прибыль от произведенной за месяц продукции равна 7000 \cdot 36x+10\,000 \cdot 30y= 6000(42x+50y).

По условию задачи нужно найти максимально возможную прибыль, которую может получить мясокомбинат от производства котлет за 1 месяц.

Значит, необходимо найти наибольшее значение выражения 6000(42x+50y) при условии

\begin{cases}y=1-x, \\ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{5}. \end{cases}

6000(42x+50y)= 6000(42x+50(1-x))= 6000(50-8x).

Пусть g(x)=6000(50-8x). Очевидно, g(x) — убывающая функция, которая принимает наибольшее значение в левом конце промежутка \left [ \frac{1}{3}; \frac{3}{5}\right ].

g\left (\frac{1}{3} \right )= 6000\left (50-8\cdot \frac{1}{3} \right )= 6000 \cdot \frac{142}{3}= 284\,000. Поэтому максимально возможная прибыль за месяц равна 284 000 рублей.

284 000 рублей.