Задание №1009
Условие
В июне планируется взять кредит в банке на сумму 455 000 рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый год в январе месяце долг повышается на 20% по сравнению с концом прошлого года;
- с февраля по май каждого года требуется выплатить часть долга;
- ежегодные выплаты составляют одну и ту же постоянную величину.
На сколько лет берется кредит, если известно, что общая сумма выплат по кредиту после его полного погашения составит 648 000 рублей?
Решение
Пусть:
k=455 тыс. рублей — сумма кредита,
x тыс. рублей — сумма ежегодного платежа,
n — число лет, на которые планируется взять кредит.
Из условия следует таблица:
| Год | Платеж | Остаток |
| 1 | x | 1,2k-x |
| 2 | x | 1,2(1,2k-x)-x=1,2^2k-1,2x-x |
| 3 | x | 1,2(1,2^2k-1,2x-x)-x=1,2^3k-1,2^2x-1,2x-x |
| ... | ... | ... |
| n | x | 1,2^nk-1,2^{n-1}x-...-1,2x-x |
Из этой таблицы и условия задачи следует система уравнений:
\begin{cases} nx=648, \\ 1,2^n k-1,2^{n-1}x-...-1,2x-x=0.\end{cases}
Второе уравнение этой системы можно записать в виде
1,2^n k- x(1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1)=0.
Так как 1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1 — сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 1,2, то 1,2^{n-1}+1,2^{n-2}+...+1,2+1= \frac{1,2^n -1}{1,2-1}= \frac{1,2^n-1}{0,2}.
Тогда, учитывая, что x=\frac{648}{n} из первого уравнения системы, для второго уравнения получим:
1,2^n k-\frac{648}{n} \cdot \frac{1,2^n-1}{0,2}=0
1,2^n \cdot 455 \cdot n \cdot 0,2-648(1,2^n-1)=0;
(648-91n) \cdot 1,2^n=648.
Так как 648-91n > 0, то 91n < 648. Отсюда, n \leq 7.
Перепишем последнее уравнение в виде
(648-91n) \cdot 6^n=648 \cdot 5^n;
6^n-5^n=\frac{91n \cdot 6^n}{648};
6^n-5^n=7 \cdot 13 \cdot n \cdot 2^{n-3} \cdot 3^{n-4}.
Так как справа от знака равенства должно быть целое число, то n \geq 3.
Перебором находим единственный целый корень уравнения n=3.
Замечание.
Можно ограничить n, если использовать свойства делимости. Выразим n из последнего уравнения:
n=\frac{(6^n-5^n) \cdot 3^4 \cdot 2^3}{7 \cdot 13 \cdot 3^n \cdot 2^n}.
Это натуральное число, значит, число множителей 2 в знаменателе не больше числа множителей 2 в числителе, то есть n \leq3.
Ответ
3