Параллелограмм
Параллелограмм — это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны являются попарно параллельными.
Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.
Содержание
СкрытьПоказатьСвойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны.
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC. Получаются два треугольника: ABC и ADC.
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC, то AB = CD и AD = BC.
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1: AB = CD, AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.
Но если \triangle ABC = \triangle ADC, то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC.
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD.
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C, \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C, \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ}. Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB.
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC.
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD. И это значит AB || CD.
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD; AO = OC, \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, и \Rightarrow AB || CD.
Аналогично BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, и \Rightarrow AD || BC.
Четвертый признак верен.