Задание №987
Условие
В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} лежит ромб ABCD с диагоналями AC=10 и BD=24.
а) Докажите, что прямые B_{1}D_{1} и AC_{1} перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми B_{1}D_{1} и AC_{1}, если известно, что боковое ребро призмы равно 20.
Решение
а) Ясно, что CC_{1} \perp A_{1}B_{1}C_{1}, так как ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} — прямая призма.
Тогда A_{1}C_{1} — проекция AC_{1} на плоскость A_{1}B_{1}C_{1}. При этом B_{1}D_{1} \perp A_{1}C_{1} по свойству диагоналей ромба. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах B_{1}D_{1} \perp AC_{1}, что и требовалось доказать.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба A_{1}C_{1} и B_{1}D_{1}. В плоскости AA_{1}C_{1} проведем OK \perp AC_{1}, где точка K принадлежит AC_{1}. Но A_{1}C_{1} \perp B_{1}D_{1}, B_{1}D_{1} \perp AC_{1}, следовательно, B_{1}D_{1} \perp AA_{1}C_{1} по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Тогда B_{1}D_{1} перпендикулярна любой прямой в плоскости (AA_{1}C_{1}).
В частности, B_{1}D_{1} \perp OK. Значит, длина отрезка OK равна расстоянию между скрещивающимися прямыми AC_{1} и B_{1}D_{1}.
В треугольнике AA_{1}C_{1} проведём среднюю линию OS. Тогда OS=\frac{1}{2}AA_{1}=10 и OS \parallel AA_{1}, значит, OS \perp A_{1}C_{1} и \bigtriangleup OSC_{1} — прямоугольный. C_{1}O=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}=5, S_{SOC_{1}}=\frac{1}{2}SO \cdot OC_{1}=\frac{1}{2}C_{1}S \cdot OK. Отсюда OK= \frac{C_{1}O \cdot OS}{C_{1}S}= \frac{5 \cdot 10}{\sqrt{5^2+10^2}}= \frac{50}{5\sqrt{5}}= 2\sqrt{5}.
Ответ
2\sqrt{5}.