Задание №985

Условие

В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 5. Ребро CD перпендикулярно плоскости основания. Точки K, L и M лежат на рёбрах AD, BD и AC соответственно. Известно, что AD=10, DK=4, CM=2 и KL \parallel AB.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM.

б) Найдите площадь этого сечения.

Показать решение

Решение

а) Построим MN \parallel AB.

Пирамида в основании которого правильный треугольник и сечение

Так как KL \parallel AB по условию, то KL \parallel MN. Это означает, что точки K, L, N и M лежат в одной плоскости, то есть KLNM — искомое сечение.

б) 1. \bigtriangleup MNC \sim \bigtriangleup ABC, так как MN \parallel AB, то есть соответственные углы равны: \angle CAB=\angle CMN и \angle CBA=\angle CNM. Значит \bigtriangleup MNC равносторонний, то есть CN=MN=CM=2.

2. Аналогично можно доказать, что \bigtriangleup DKL \sim \bigtriangleup DAB, так как KL \parallel AB. Значит, \frac{KL}{AB}=\frac{DK}{DA}=\frac{2}{5}, KL=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5} \cdot 5=2.

3. Так как KL \parallel MN и KL=MN, то KLNM — параллелограмм.

4. \bigtriangleup AMK \sim \bigtriangleup ACD, так как угол при вершине A общий и \frac{AK}{AD}=\frac{AM}{AC}=\frac{3}{5}. Следовательно, MK \parallel CD, так как соответственные углы равны (например, \angle AKM=\angle ADC). Отсюда, MK \perp ABC, так как CD \perp ABC. Значит, MK \perp MN, то есть параллелограмм KLNM является прямоугольником.

5. По теореме Пифагора CD= \sqrt{AD^2-AC^2}= \sqrt{10^2-5^2}= 5\sqrt{3}. Так как \frac{MK}{CD}=\frac{AM}{AC}=\frac{3}{5}, то MK=\frac{3}{5}CD=3\sqrt{3}.

6. S_{KLNM}= MK \cdot MN= 3\sqrt{3} \cdot 2= 6\sqrt{3}.