Задание №964
Условие
На доске записаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... 18. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 32. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.
а) Напишите пример последовательных трёх ходов.
б) Возможно ли сделать 5 ходов?
в) Определите наибольшее возможное число ходов, которые можно сделать?
Решение
а) Пример последовательных трех ходов (стёрты тройки чисел):
(4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12).
б) Пусть сделано 5 ходов, стёрли 5 \cdot 3=15 чисел, то есть стерты все числа.
Сумма чисел 4, 5, 6,...18 равна \frac{4+18}{2} \cdot 15=165. Каждая из сумм стираемых чисел меньше 32, значит, сумма всех стёртых за 5 ходов чисел меньше 32 \cdot 5=160, 160 < 165. Следовательно, 5 ходов сделать нельзя.
в) Пусть можно сделать 4 хода. Тогда сумма стёртых за 4 хода чисел не меньше
4+5+6+7+8+9+10+11+12+ 13+14+15= \frac{4+15}{2} \cdot 12= 114.
С другой стороны, эта сумма не больше суммы четырёх различных натуральных чисел, меньших 31+30+29+28=118. Значит, можно сделать 4 хода. Пример последовательных четырёх ходов (стираются тройки чисел): (17, 10, 4); (16, 9, 5); (15, 8, 6); (14, 3, 7).
Ответ
а) (4, 7, 10); (5, 8, 11); (6, 9, 12);
б) нет;
в) 4
Алексей Пауков /