Задание №239
Условие
На полиграфической фабрике страницы тетради пронумерованы числами от 1 до 96. На случайной странице Максим, записал число 0 и пронумеровал все страницы далее до конца тетради числами 1, 2, 3,... и т.д., не пропуская ни одной. Затем он вернулся к странице с записанным 0 и пронумеровал страницы тетради назад числами -1, -2, -3, ... и т.д. до начала тетради без пропусков. Сумма всех записанных чисел в тетради равна S. Определите номер страницы фабричной нумерации, на которой Максим записал число 0, если:
а) S=48;
б) S=4\,560;
в) S=1\,968
Решение
а) Очевидно, что сумма 96 чисел
(-47-46-...-1+0+1+... +\,46+47)+48 равна 48, и понятно, что 0 записан на 48-й странице тетради.
б) Если 0 записан на первой странице, то сумма 96 чисел 0+1+2+3+...+94+95=4\,560. В этом нетрудно убедиться, используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
в) Рассмотрим таблицу, в первой строке которой записаны номера страниц по фабричной нумерации, а во второй строке номера, записанные Максимом.
| 1 | 2 | ... | k | k+1 | k+2 | ... | 2k | 2k+1 | 2k+2 | 2k+3 | ... | 95 | 96 |
| -k | -(k-1) | ... | -1 | 0 | 1 | ... | k-1 | k | k+1 | k+2 | ... | 94-k | 95-k |
| 2k+1 чисел | 95-2k чисел | ||||||||||||
Сумма первых 2k+1 чисел равна 0, сумму последних чисел, начиная с k+1 по 95-k, можно найти с помощью формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Эта сумма равна 48(95-2k)=S, которую нашел мальчик. Приравняв ее к числу 1\,968, получим уравнение 48(95-2k)=1\,968, поэтому k=27. Число 0 мальчик записал на странице с номером k+1, то есть на 28-й странице.
Ответ
а) 48; б) 1; в) 28.