Задание №232

а) Нельзя. Среднее арифметическое всех семи чисел равно:

\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4, то есть является целым числом.

б) Нельзя. Среднее арифметическое всех 2k+1 чисел равно:

\frac{1+2+...+(2k+1)}{2k+1}=\frac{(1+(2k+1))(2k+1)}{2} : (2k+1) =k+1, то есть является целым числом.

в) Можно. Например, 2; 1; 4; 3; 6; 5. Суммы из двух чисел (3; 5; 7; 9; 11) не делятся на два, суммы из трех чисел (7; 8; 13; 14) не делятся на 3, суммы из четырех чисел (10; 14; 18) не делятся на 4, суммы из пяти чисел (16; 19) не делятся на 5, сумма всех шести чисел (21) не делится на 6.

г) Можно. Например, 2; 1; 4; 3; ... 2k; 2k-1. Рассмотрим среднее арифметическое подряд идущих m четных чисел иm нечетных чисел:

\frac{2k+2(k+1)+...+2(k+m-1)+(2k-1)+(2(k+1)-1)+...+2(k+m-1)-1}{2m}=

= \frac{(2k-1)+2k+...+2(k+m-1)}{2m}=\frac{(2k-1)+2(k+m-1)}{2} \cdot 2m : 2m=

= \frac{4k+2m-3}{2}=2k+m-\frac{3}{2}, то есть не целое число.

Рассмотрим среднее арифметическое подряд идущих m четных чисел и (m-1) нечетных чисел (m > 1):

\frac{2k+2(k+1)+...+2(k+m-1)+(2k-1)+(2(k+1)-1)+...+2(k+m-2)-1}{2m-1}=

\frac{(2k-1)+2k+...+2(k+m-1)-(2(k+m-1)-1)}{2m-1}=

= \left (\frac{(2k-1)+2(k+m-1)}{2} \cdot 2m-(2(k+m-1)-1) \right ) : (2m-1)=

= \frac{(4k+2m-3)m-2k-2m+3}{2m-1}=

= \frac{(2m-1)m+2k(2m-1)-2(2m-1)+1}{2m-1}=m+2k-2+\frac{1}{2m-1}, то есть не целое число.

Рассмотрим среднее арифметическое подряд идущих чисел (m-1) четных чисел и m нечетных чисел (m > 1):

\frac{2(k+1)+2(k+2)+...+2(k+m-1)+(2k-1)+(2(k+1)-1)+...+2(k+m-1)-1}{2m-1}=

= \frac{(2k-1)+2k+...+2(k+m-1)-2k}{2m-1}=

= \left ( \frac{(2k-1)+2(k+m-1)}{2} \cdot 2m-2k \right ) : (2m-1)=

= \frac{(4k+2m-3)m-2k}{2m-1}=\frac{(2m-1)m+4km-2k-2m}{2m-1} =

= \frac{(2m-1)m+2k(2m-1)-2m+1-1}{2m-1}=m+2k-1-\frac{1}{2m-1}, то есть не целое число.

а) нет; б) нет; в) да; г) да.