Задание №203

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Дан набор из n различных натуральных чисел. Известно, что n>7, наименьшее общее кратное всех чисел равно 330 и для любых двух чисел их наибольший общий делитель больше единицы. Сумма всех чисел данного набора равна 755.

а) Принадлежит ли данному набору чисел хотя бы одно из чисел 2 или 3?

б) Принадлежит ли 10 данному набору чисел?

в) Укажите все n чисел данного набора.

Показать решение

Решение

а) Наименьшее общее кратное чисел данного набора равно 330=2\cdot3\cdot 5\cdot 11. Запишем все возможные делители числа 330:

1; 2; 3; 5; 6; 10; 11; 15; 22; 30; 33; 55; 66; 110;165; 330

Заметим, что единицы среди чисел данного набора нет, так как по условию для любых двух данных чисел их наибольший общий делитель больше единицы.

Предположим, что 2 принадлежит данному набору чисел, тогда каждое другое число из данного набора чисел, а следовательно, и их сумма четное, так как наибольший общий делитель для любых двух чисел больше единицы. Но, по условию, сумма равна 755. Значит, число 2 не принадлежит данному набору чисел.

Если предположить, что число 3 принадлежит данному набору чисел, то и остальные числа набора, а следовательно, и их сумма делятся 3. Но, 755 не делится на 3, следовательно, 3 не содержится среди данных чисел.

б) Предположим, что 10 принадлежит данному набору чисел. Тогда он не может содержать числа 11 и 33, так как их общий делитель с числом 10 равен 1.

Тогда остается 10 чисел (не считая числа 10), их которых надо составить требуемый набор — это числа 5, 6, 15, 22, 30, 55, 66, 110,165, 330. Если число 5 входит в набор, то набор состоит из чисел, кратных 5, то есть: 5, 10, 15, 30, 55, 110, 165, 330 (8 чисел, значит, ни одно нельзя исключить). Сумма чисел этого набора равна 720 \neq 755. Таким образом, число 5 в набор не входит.

Ясно, что из чисел 15 и 22 в набор может входить только одно, равно как из чисел 6 и 55.

Предположим, не входят 15 и 6. Тогда набор: 10, 22, 30, 55, 66, 110,165, 330; сумма чисел набора равна 788\neq 755.

Предположим, не входят 15 и 55. Тогда набор: 6, 10, 22, 30, 66, 110,165, 330; сумма чисел набора равна 739\neq 755.

Предположим, не входят 22 и 6. Тогда набор: 10, 15, 30, 55, 66, 110,165, 330; сумма чисел набора равна 781\neq 755.

Наконец, предположим, что не входят 22 и 55. Тогда набор: 6, 10, 15, 30, 66, 110,165, 330; сумма чисел набора равна 732\neq 755.

Таким образом, 10 не входит в данный набор.

в) Из предыдущих пунктов следует, что числа 1, 2, 3, 5, 10 не входят в данный набор. Если в набор входит число 11, то набор: 11, 22, 33, 55, 66, 110, 165, 330, сумма его чисел делится на 11, а 755 нет. Значит, набор не содержит числа 11. Из чисел 15 и 22 в набор входит не более одного числа, как и из пары (6, 55). Поочередно исключая пары (15; 6), (15; 55), (22; 6), (22; 55), найдем, что единственный подходящий набор состоит из чисел 6, 15, 30, 33, 66, 110, 165, 330.