Задание №196

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

На доске было написано 30 натуральных, необязательно различных чисел. Каждое из них больше 14 и меньше или равно 54. Среднее арифметическое всех чисел было равно 18. Вместо каждого числа на доске написали число вдвое меньшее первоначального значения. Числа, значение которых оказалось меньше 8 стерли.

а) Возможно ли, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел стало больше 16?

б) Возможно ли, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел стало больше 14, но меньше 15?

в) Определите наибольшее возможное значение среднего арифметического оставшихся чисел.

Показать решение

Решение

а) Пусть первоначально на доске было 25 чисел, равных 15, и 5 чисел, равных 33. Их среднее арифметическое равно

\frac{25\cdot 15+5\cdot 33}{30}=\frac{375+165}{30}=\frac{540}{30}=18

Среднее арифметическое получившихся чисел равно \frac{5\cdot 16,5}{5}=16,5 > 16.

б) Пусть с доски было стерто k чисел, сумма оставшихся была равна S, а стала равна \frac{S}{2}. По условию оказались стерты только числа, получившиеся из 15, поэтому \frac{S+15k}{30}=18. Отсюда S=540-15k. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно \frac{S}{2(30-k)}. Тогда 14 < \frac{540-15k}{2(30-k)} < 15;

840-28k < 540-15k < 900-30k.

Последнее двойное неравенство запишем в виде системы неравенств

\begin{cases}840-28k < 540-15k, \\ 540-15k < 900-30k, \end{cases}

\begin{cases} 13k > 300, \\ 15k < 360, \end{cases}

\begin{cases} k > 23\frac{1}{13}\\ k>24 \end{cases} .

Таких целых чисел k нет.

в) Найдем наибольшее возможное значение среднего арифметического A = \frac{540-15k}{2(30-k)} оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента k — первоначального количества чисел 15 на доске. Имеем: A= \frac{540-15k}{2(30-k)}= \frac{15k-540}{2k-60}= \frac{\dfrac{15}{2}\cdot (2k-60)-90}{2k-60}= \frac{15}{2}-\frac{90}{2k-60}= \frac{15}{2}+\frac{45}{30-k}.

Число А будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента k. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более 54, в конце на доске осталось 30-k чисел, поэтому для суммы оставшихся чисел S=540-15k должно выполняться неравенство 540-15k \leqslant 54(30-k);

39k \leqslant 1080;

k \leqslant \frac{360}{13}<28;

k \leqslant 27.

Тогда A \leqslant \frac{15}{2}+\frac{45}{30-27}=22,5.

Приведем пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным 22,5. Пусть первоначально на доске было написано 27 чисел, равных 15, и 3 числа, равных 45. Их среднее арифметическое было равно \frac{27\cdot 15+3\cdot 45}{30}=18. Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно \frac{3\cdot 22,5}{3}=22,5.